2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：整除
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2018年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義：整除
Ø 第一章 整除
一、主要內(nèi)容
整除的定義、帶余除法定理、余數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法、互素、兩兩互素、素數(shù)、合數(shù)、算術(shù)基本定理、Eratosthesen篩法、[x]和{x}的性質(zhì)、n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
二、基本要求
通過本章的學(xué)習(xí)，能了解引進(jìn)整除概念的意義，熟練掌握整除 整除的定義以及它的基本性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)，了解解決整除問題的若干方法，熟練掌握本章中二個著名的定理：帶余除法定理和算術(shù)基本定理。認(rèn)真體會求二個數(shù)的最大公因數(shù)的求法的理論依據(jù)，掌握素數(shù)的定義以及證明素數(shù)有無窮多個的方法。能熟練求出二個整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握高斯函數(shù)[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用。
三、重點和難點
(1)素數(shù)以及它有關(guān)的性質(zhì)，判別正整數(shù)a為素數(shù)的方法，算術(shù)基本定理及其應(yīng)用。
(2)素數(shù)有無窮多個的證明方法。
(3)整除性問題的若干解決方法。
(4)[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用，n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
四、自學(xué)指導(dǎo)
整除是初等數(shù)論中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一個整數(shù)q，使得等式a=bq成立。因此這一標(biāo)準(zhǔn)作為我們討論整除性質(zhì)的基礎(chǔ)。也為我們提供了解決整除問題的方法。即當(dāng)我們無法用整除語言來敘述或討論整除問題時，可以將其轉(zhuǎn)化為我們很熟悉的等號問題。
對于整除的若干性質(zhì)，最主要的性質(zhì)為傳遞性和線性組合性，即
(1) a∣b, b∣c, 則有a∣c
(2) a∣b, a∣c, 則有a∣mb+nc
讀者要熟練掌握并能靈活應(yīng)用。特別要注意，數(shù)論的研究對象是整數(shù)集合，比小學(xué)數(shù)學(xué)中非負(fù)整數(shù)集合要大。
本章中最重要的定理之一為帶余除法定理，即為
設(shè)a是整數(shù)，b是非零整數(shù)，則存在兩個整數(shù)q，r，使得
a=bq+r (0)
它可以重作是整除的推廣。同時也可以用帶余除法定理來定義整除性，(即當(dāng)余數(shù)r=0時)。帶余除法可以將全體整數(shù)進(jìn)行分類，從而可將無限的問題轉(zhuǎn)化為有限的問題。這是一種很重要的思想方法，它為我們解決整除問題提供了又一條常用的方法。同時也為我們建立同余理論建立了基礎(chǔ)。讀者應(yīng)熟知常用的分類方法，例如把整數(shù)可分成奇數(shù)和偶數(shù)，特別對素數(shù)的分類方法。例全體奇素數(shù)可以分成4k+1，4k+3;或6k+1，6k+5等類型。
和整除性一樣，二個數(shù)的最大公約數(shù)實質(zhì)上也是用等號來定義的，因此在解決此類問題時若有必要可化為等式問題，最大公因數(shù)的性質(zhì)中最重要的性質(zhì)之一為 a=bq+c，則一定有(a，b)=(b，c)，就是求二個整數(shù)的最大公約數(shù)的理論根據(jù)。也是解決關(guān)于最大公約數(shù)問題的常用方法之一。讀者應(yīng)有盡有認(rèn)真體會該定理的證明過程。
互素與兩兩互素是二個不同的概念，既有聯(lián)系，又有區(qū)別。要認(rèn)真體會這些相關(guān)的性質(zhì)，例如，對于任意a ,b∈Z，可設(shè)(a ,b)=d，則a=da1 ,b=db1，則(a1 ,b1)=1，于是可對a1 ,b1使用相應(yīng)的定理，要注意，相關(guān)定理及推論中互素的條件是經(jīng)常出現(xiàn)的。讀者必須注意定理成立的條件，也可以例舉反例來進(jìn)行說明以加深影響。順便指出，若a∣c，b∣c，(a ,b)=1，則ab∣c是我們解決當(dāng)除數(shù)為合數(shù)時的一種方法。好處是不言而喻的。
最小公倍數(shù)實際上與最大公因數(shù)為對偶命題。特別要指出的是a和b的公倍數(shù)是有無窮多個。所以一般地在無窮多個數(shù)中尋找一個最小數(shù)是很困難的，為此在定義中所有公倍數(shù)中的最小的正整數(shù)。這一點實際上是應(yīng)用自然數(shù)的最小自然數(shù)原理，即自然數(shù)的任何一個子集一定有一個最小自然數(shù)有在。最小公倍數(shù)的問題一般都可以通過以下式子轉(zhuǎn)化為最大公因數(shù)的問題。兩者的關(guān)系為
a ,b∈N， [a ,b]=ab/(a,b)
上述僅對二個正整數(shù)時成立。當(dāng)個數(shù)大于2時，上述式子不再成立。證明這一式子的關(guān)鍵是尋找a , b的所有公倍數(shù)的形式，然后從中找一個最小的正整數(shù)。
解決了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)問題后，就可以求出n個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)問題，可以兩個兩個地求。即有下面定理
設(shè)a1,a2,a3...ax
是n個整數(shù)，(a1,a2)=d2;
(d2,a3)=d3,...
(dn-q,an)=dn,
則(a1,a2,...ax)=dx
a1,a2,...an]=mn
素數(shù)是數(shù)論研究的核心，許多中外聞名的題目都與素數(shù)有關(guān)。除1外任何正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)即為合數(shù)。判斷一個已知的正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)可用判別定理去實現(xiàn)。判別定理又是證明素數(shù)無窮的關(guān)鍵。實際上，對于任何正整數(shù)n>1，由判別定理一定知存在素數(shù)p，使得p∣n 。即任何大于1的整數(shù)一定存在一個素因數(shù)p 。素數(shù)有幾個屬于內(nèi)在本身的性質(zhì)，這些性質(zhì)是在獨(dú)有的，讀者可以用反例來證明：素數(shù)這一條件必不可少。以加深對它們的理解。其中p∣ab
→p∣a或p∣b也是常用的性質(zhì)之一。也是證明算術(shù)基本定理的基礎(chǔ)。
算術(shù)基本定理是整數(shù)理論中最重要的定理之一，即任何整數(shù)一定能分解成一些素數(shù)的乘積，而且分解是唯一的，不是任何數(shù)集都能滿足算術(shù)基本定理的，算術(shù)基本定理為我們提供了解決其它問題的理論保障。它有許多應(yīng)用，由算術(shù)基本定理我們可以得到自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解問題。
設(shè)a=
，b=
，
則有 (a，b)=
[a，b]=
例如可求最大公約數(shù)，正整數(shù)正約數(shù)的個數(shù)等方面問題，對具體的n，真正去分解是件不容易的事。對于較特殊的n，例如n!分解還是容易的。應(yīng)用[x]的性質(zhì)，n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式可由一個具體的公式表示出來，這一公式結(jié)合[x]的性質(zhì)又提供了解決帶有乘除符號的整除問題的方法。
本章的許多問題都圍繞著整除而展開，讀者應(yīng)對整除問題的解決方法作一簡單的小結(jié)。
五、例子選講
補(bǔ)充知識
①最小自然數(shù)原理：自然數(shù)的任意非空子集中一定存在最小自然數(shù)。
②抽屜原理：
(1)設(shè)n是一個自然數(shù)，有n個盒子，n+1個物體，把n+1個物體放進(jìn)n個盒子，至少有一個盒子放了兩個或兩個以上物體;
(2)km+1個元素，分成k組，至少有一組元素其個數(shù)大于或等于m+1;
(3)無限個元素分成有限組，至少有一組其元素個數(shù)為無限。
③梅森數(shù)：形如2n-1的數(shù)叫梅森數(shù)，記成Mn=2n-1。
④費(fèi)爾馬數(shù)：n為非負(fù)整數(shù)，形如
的數(shù)叫費(fèi)爾馬數(shù)，記成Fn=
。 ⑤設(shè)n=
，設(shè)n的正因子個數(shù)為d(n)，所有正因子之和為
，則有
⑥有關(guān)技巧
1. 整數(shù)表示a=a0×10n+a1×10n-1+…+an，
a=2kb(b為奇數(shù))
2.整除的常用方法
a. 用定義
b. 對整數(shù)按被n除的余數(shù)分類討論
c. 連續(xù)n個整數(shù)的積一定是n的倍數(shù)
d. 因式分解
an-bn=(a-b)M1,
an+bn=(a+b)M2, 2
n
e. 用數(shù)學(xué)歸納法
f. 要證明a|b，只要證明對任意素數(shù)p，a中p的冪指數(shù)不超過b中p的冪指數(shù)即可，用p(a)表示a中p的冪指數(shù)，則a|b
p(a)
p(b)
例題選講
例1.請寫出10個連續(xù)正整數(shù)都是合數(shù).
解: 11!+2，11!+3，……，11!+11。
例2. 證明連續(xù)三個整數(shù)中，必有一個被3整除。
證：設(shè)三個連續(xù)正數(shù)為a，a+1，a+2，而a只有3k，3k+1，3k+2三種情況，令a=3k，顯然成立，a=3k+1時，a+2=3(k+1)，a=3k+2時，a+1=3(k+1)。
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