巖土工程基礎(chǔ)師考試：泰勒級(jí)數(shù)

　　泰勒級(jí)數(shù)的定義 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f(x)的n階泰勒公式為： f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)²/2!+f```( x0)(x- x0)³/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.... 其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，稱為拉格朗日余項(xiàng)。 以上函數(shù)展開(kāi)式稱為泰勒級(jí)數(shù)。

　　在泰勒公式中，取x0=0，得到的級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)(Maclaurin series)。 函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)是x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展開(kāi)是唯一的，且必然與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。

　　注意：如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f(x)。因此，如果f(x)在某處有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能做出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f(x)都需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

　　泰勒級(jí)數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：首先，冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。第二，一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)區(qū)域上的泰勒級(jí)數(shù)通過(guò)解析延拓得到的函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。第三，泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。

　　對(duì)于一些無(wú)窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開(kāi)式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)f(x) = exp(−1/x²) 當(dāng) x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當(dāng)x = 0所有的導(dǎo)數(shù)都為零，所以這個(gè)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)為零，且其收斂半徑為無(wú)窮大，雖然這個(gè)函數(shù) f 僅在 x = 0 處為零。而這個(gè)問(wèn)題在復(fù)變函數(shù)內(nèi)并不成立，因?yàn)楫?dāng) z 沿虛軸趨于零時(shí) exp(−1/z²) 并不趨于零。

　　一些函數(shù)無(wú)法被展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)是因?yàn)槟抢锎嬖谝恍┢纥c(diǎn)。但是如果變量x是負(fù)指數(shù)冪的話，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_(kāi)為一個(gè)級(jí)數(shù)。例如，f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展開(kāi)為一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)。

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