1.【案例題】
過點(diǎn)P(1,3)作橢圓
的切線，分別交x軸和y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所成旋轉(zhuǎn)曲記作S。
第1題
第2題
在空間直角坐標(biāo)系下，寫出曲面S的方程；(6分)
題目解析:
由題意知，點(diǎn)P(1,3)在橢圓上。橢圓左右兩邊求導(dǎo)得：
，即
將
代入，得y'=-1，所以切線方程為
，該切線分別交x軸和y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以可得A(4,0)，B(0,4)。線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面S，曲面S的方程為
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求曲面S與平面x=0所圍成立體的體積。(4分)
題目解析:
求曲面S與平面x=0所圍成立體的體積有兩種方法:
①利用旋轉(zhuǎn)體體積公式有，
②根據(jù)幾何性質(zhì)，線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面和平面x=0所圍成立體是底面半徑r=4，高h(yuǎn)=4的圓錐體，根據(jù)圓錐的體積公式，得
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