給排水工程師《基礎(chǔ)知識(shí)》數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù)與極限：集合的概念

函數(shù)與極限

1、集合的概念

一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫集合(簡(jiǎn)稱(chēng)集)。集合具有確定性(給定集合的元素必須是確定的)和互異性(給定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于A，記作：a∈A，否則就說(shuō)a不屬于A，記作：aA。

⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)。記作N

⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。

⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。

⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。

⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“{｝”括起來(lái)表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。

集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)A、B有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合B的子集，記作A B(或B A)。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A=B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱(chēng)集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A

②、對(duì)于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話(huà)子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運(yùn)算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱(chēng)為A與B的并集。記作A∪B。(在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。)

即A∪B={x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱(chēng)為A與B的交集。記作A∩B。

即A∩B={x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、補(bǔ)集：

①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集。通常記作U。

②補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。

即CUA={x|x∈U，且x A｝。

集合中元素的個(gè)數(shù)

⑴、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。

⑵、用card來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A={a,b,c｝，則card(A)=3。

⑶、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B，有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

我的問(wèn)題：

1、 學(xué)校里開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A={x|x是參加一百米跑的同學(xué)｝，B={x|x是參加二百米跑的同學(xué)｝，C={x|x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。⑴、A∪B;⑵、A∩B。

答：規(guī)定即 A∩B∩C=0

(1) A∪B 表示有參加一百米，二百米的同學(xué)

(2) A∩B表示既參加一百米又參加二百米的同學(xué)

2、 在平面直角坐標(biāo)系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直線y=x，從這個(gè)角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合C、D之間有什么關(guān)系?請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系。

∵2x-y=1

x+4y=5

∴3x+3y=6

∴x+y=2

∴y=-x+2

兩條相互垂直的直線，與x軸的夾角分別為45°和135°，兩直線相交與(1,1)。而集合D表示此交點(diǎn)，同時(shí)此點(diǎn)位于集合C，所以應(yīng)該是D∈C

3、 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集?是否存在實(shí)數(shù)a使A=B成立?

B={x|(x-1)(x-a)=0}。解得B={x|x=1,x=a}

當(dāng)1<=a<=3時(shí),B是A的子集,否則不是.

不存在實(shí)數(shù)a使A=B成立,因?yàn)锳是一個(gè)區(qū)間集合,元素是無(wú)限的,而B(niǎo)的元素是有限的.

4、 對(duì)于有限集合A、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)呢?

集合A元素個(gè)數(shù)記為I(A)

I(A)+I(B)=I(AUB)+I(AnB)

I(A)+I(B)+I(C)=I(AUBUC)+I(AnB)+I(AnC)+I(CnB)-I(AnBnC)

其他類(lèi)似

5、 無(wú)限集合A={1，2，3，4，…，n，…｝，B={2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎?

建立A到B的對(duì)應(yīng): n è2n

此對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)(單的, 滿(mǎn)的)

所以?xún)蓚€(gè)集合中元素一樣多.