2013年內(nèi)蒙古公務(wù)員考試行測：最短路徑問題
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一. 平面最短路徑
“平面內(nèi)連結(jié)兩點的線中，直線段最短?！?/p>
在求最短路線時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線.像這樣將一個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€和它等價的問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法
【例題】 如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報.在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間。
【解析】要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線.
作點A關(guān)于河岸的對稱點 A′，即作 AA′垂直于河岸，與河岸相交，連接A′B交河岸于一點O，這時O點就是飲馬的最好位置，連接 OA，此時 OA+OB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線
一. 空間最短路徑
想求相鄰兩個平面上的兩點之間的最短路線時，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線.
【例題】長方體ABCD―A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小蟲從頂點D′出發(fā)，沿長方體表面爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短?
【解析】因為小蟲是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D′、B兩點的兩個相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上 D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點的直線段，這樣，從D′點出發(fā)，到B點共有三條路線供選擇.
①從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側(cè)面到達B點，將這兩個面攤開在一個平面上，這時在這個平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點的直線段，它是直角三角形ABD′的斜邊，根據(jù)勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25，∴D′B=5.
②從D′點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進入前側(cè)面到達B點．將這兩個面攤開在同一平面上，同理求得在這個平面上D′、B兩點間的最短路線，有：D′B2＝22+（1+4）2=29．
比較三條路線，顯然情形①中的路線最短，所以小蟲從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側(cè)面到達B點的路線是最短路線，它的長度是5個單位長度.
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