行測輔導：數學運算解題方法系列之容斥問題
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數學運算主要考查應試者解決算術問題的能力。在這種題型中，每道試題中呈現一道算術式子，或者是表述數字關系的一段文字，要求考生迅速、準確地計算出答案。在解答此類試題時，關鍵在于找捷徑和簡便方法。由于運算只涉及加、減、乘、除四則運算，比較簡單，如果有足夠的時間給每一位考生的話，大家?guī)缀醵寄艽蚋叻稚踔潦菨M分。但公務員考試行測的一大特點就是題量大時間緊，在這種情況下，個體的差異就體現在運算的速度與準確性上，只有通過巧用計算方法提高運算速度才能在考試中獲得優(yōu)勢。
數學運算的簡便解題方法有很多，如數學公式運算法、湊整計算法、基準數法、提取公因式法等等，根據?？嫉脑囶}，還總結出一些專題，比如年齡問題、植樹問題、行程問題等等，每一類題也有各自不一樣的解法，我們會一一給大家講解，今天，我們主要來講一講容斥問題的解題方法。
容斥問題的知識點主要有：
如果有S個東西，其中具有性質A的有a個，具有性質B的有b個，即具有性質A又具有性質B的有c個，則具有性質A或B及性質AB的為N，N=a+b-c;
不具有性質A也不具有性質B的為M,M=S-(a+b-c);
假設這S個東西，必須至少具有A、B性質的一種，即具有性質A或具有性質B或同時具有兩種性質，除此沒有，則N=S;
假設這S個東西，可能具有A、B性質中的一種或兩種或沒有，則S-M=至少具有一種性質的集合(N)，考題中常用后推的思想。
容斥原理可用集合的知識來表示：
(1)兩個集合的容斥關系公式：
A+B=A∪B+A∩B;
A∪B= a+b-c;
c= A∩B
(2)三個集合的容斥關系公式：
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C;
A∪B∪C= a+b+c- A∩B- A∩C- B∩C+ A∩B∩C
下邊我們來看幾道例題，幫助大家熟悉容斥問題的解題方法：
【例題1】某校學生有1000人，其中500人訂《中國少年報》，300人訂《少年文藝》，120人訂《數學報》，其中250人訂閱2種，50訂閱3種，問這個學校沒有訂閱任何報的學生有多少人?( )
A.250 B.280 C.300 D.360
【答案及解析】B。
先求至少訂閱一種的學生人數：500+300+120-250+50=720人，所以一種也沒有訂閱的學生人數為：1000-720=280人
【例題2】(2004年中央A類真題)某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是( )。
A.22 B.18 C.28 D.26
【答案及解析】A。
設A=第一次考試中及格的人(26)，B=第二次考試中及格的人(24)
顯然，A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28，
則根據公式：A∩B=A+B-A∪B=50-28=22，
所以，答案為A。
【例題3】(2004年山東真題)某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有( )人
A.57 B.73 C.130 D.69
【答案及解析】A。
設A=會騎自行車的人(68)，B=會游泳的人(62)
顯然，A+B=68+62=130;A∪B=85-12=73，
則根據公式A∩B=A+B-A∪B=130-73=57
所以，答案為A。
【例題4】(2005年中央A類真題)對某單位的100名員工進行調查，結果發(fā)現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人?( )
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
【答案及解析】A。
設A=喜歡看球賽的人(58)，B=喜歡看戲劇的人(38)，C=喜歡看電影的人(52)
A∩B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人(18)
B∩C=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)
A∩B∩C=三種都喜歡看的人(12)
A∪B∪C=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)
根據公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
=148-(100+18+16-12)=26
所以，只喜歡看電影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22，所以選A。
通過上面幾道例題，我們了解了容斥問題的基本特點，以及容斥問題的一些解題方法。
其實數學運算的考查點并非在于應試者的知識積累，而在于應試者的反應速度及應變能力。因此數學運算的題目并非是要求應試者用復雜的數學公式來進行運算(盡管能最終算出結果)，而是要求應試者根據題目所給條件，巧妙運用簡便的方法來進行解答。今天給大家介紹了容斥問題的解題方法，這也是數學運算中一種比較常見的題型，希望大家能掌握其中的要點，做到靈活運用。其他的解題方法在以后我們還會一一介紹，建議大家在學習解題方法的同時，也要注意基礎知識的積累，多做練習，把各種解題方法運用得爐火純青。
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